Informations- und Kommunikationstechnik

Komplexe Darstellung sinusförmiger Größen

Die bekannte grafische Darstellung einer sinusförmigen Schwingung erfolgt mithilfe der Momentanwertgleichung und zeigt als Amplituden-Zeitdiagramm das bekannte Liniendiagramm einer Sinus- oder Kosinuskurve. Zur mathematischen Beschreibung lassen sich die folgenden Gleichungen aufstellen.

Momentanwertgleichungen sinusförmiger Schwingungen

Die Momentanwertgleichung einer sinusförmigen Größe kann mithilfe der Additionstheoreme in anderer Form geschrieben werden. Das Ergebnis ist die Summe einer Sinus- und Kosinusschwingung ohne Nullphasenwinkel.

ruhender Zeiger und komplexe Werte

An anderer Stelle kann interaktiv die Entwicklung des Liniendiagramms aus einem Zeigerdiagramm nachvollzogen werden. Ein Zeiger mit der Länge des Spitzenwerts rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω nach Definition gegen den Uhrzeigersinn um seinen Nullpunkt. Für jeden Wert des Rotationswinkels φ oder dem entsprechenden Zeitpunkt t kann der Momentanwert der Kurve im Liniendiagramm durch die Projektion des Zeigers auf die Koordinatenachsen ermittelt werden. Die Projektionslängen auf der waagerechten Achse bilden im Liniendiagramm die Kosinusfunktion, die auf der senkrechten Achse den Verlauf der Sinuskurve.

Der ruhende Zeiger in der komplexen Ebene

Wird das rechtwinklige kartesische oder Polarkoordinatensystem durch die Gaußsche Zahlenebene ersetzt, so gelangt man zur komplexen Darstellung. Die x-Achse ist als reelle Achse und die y-Achse als imaginäre Achse definiert. In diesem Koordinatensystem lassen sich komplexe Größen durch die Angabe eines Realteils Re und Imaginärteils Im darstellen. Das Bild zeigt einen ruhenden Spannungszeiger in der komplexen Zahlenebene. Komplexe Größen werden mit einem Unterstrich geschrieben. Der Zeigeranfang liegt im Koordinatenursprung. Die positiv zählende Drehrichtung erfolgt links herum. Der komplexe Spannungszeiger wird durch die Projektion auf die Koordinatenachsen in eine reelle Komponente u1 und eine imaginäre Komponente u2 zerlegt. Beides sind reine Zahlenwerte und die komplexe Spannung dieses Beispiels kann mit ihren Komponenten geschrieben werden als: u = 4V + j · 3V.

ruhender Zeiger und komplexe Werte

Normalform einer komplexen Größe

Die komplexe Gleichung u = u1 + j u2 beschreibt zwei um 90° phasenverschobene Teilspannungen mit einer reellen u1 und u2 imaginären Amplitude. Sie wird als Normalform oder Komponentenform eines komplexen Zeigers bezeichnet. Aus ihr kann weder der Betrag der Spannung u noch der Nullphasenwinkel φ abgelesen werden. Die Komponentenform eignet sich besonders bei der Addition und Subtraktion komplexer Ausdrücke.

Trigonometrische Form einer komplexen Größe

Gleichberechtigt zur Normal- oder Komponentenform kann diese komplexe Größe auch in der trigonometrischen Schreibweise nach u = û(cosφ + jsinφ) dargestellt werden. Die Achsenabschnitte werden durch Multiplikation der Zeigerlänge û mit dem Kosinus als auch mit dem Sinus des Nullphasenwinkels ersetzt.

Der oben im Bild dargestellte komplexe Spannungszeiger u = 4V + j·3V entspricht der Momentanwertgleichung u(t) = 5·(ωt + 36,87°). Die Gegenüberstellungen zeigen den Zusammenhang zwischen der Normalform und der trigonometrischen Form zum Berechnen des Betrags der komplexen Spannung u und ihres Nullphasenwinkels.

Gegenüberstellung von Normal- und trigonometrischer Form

Vergleicht man zusammengehörige Werte in der Normalform mit denen aus der trigonometrischen Form, so gilt für den Realteil u1 = û·cos(φ), für den Imaginärteil u2 = û·sin(φ). Die absolute Zeigerlänge |û| ist nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus der Summe der Quadrate des Real- und Imaginärteils. Aufgrund der Quadrierungen ist das Ergebnis von der Orientierung des Zeigers im polaren Achsenkreuz unabhängig. Bei der Berechnung des Nullphasenwinkels, dem Quotienten aus Imaginär- und Realteil sind deren Vorzeichen zu beachten.

Exponentialform einer komplexen Größe

Von der trigonometrischen Form ausgehend kann die komplexe Größe auch in ihrer Exponentialform angeben werden. Die Umwandlung nutzt eine nach dem Mathematiker Euler benannte Beziehung. In der Exponentialform wird die komplexe Größe nach Betrag und Nullphasenwinkel beschrieben. Diese Darstellung eignet sich besonders zur Multiplikation und Division mehrerer komplexer Größen. Die Exponentialform der oben im Bild dargestellten komplexen Spannung lautet:

Darstellung der Exponentialform

Der rotierende Spannungszeiger in der komplexen Ebene.

Wird der Nullphasenwinkel um eine zeitabhängige Komponente ωt erweitert, so entsteht ein rotierender Zeiger. Der Amplitudenzeiger ist eine komplexe Größe und zeitunabhängig. Zum Zeitpunkt t = 0 steht er um den Anfangs- oder Nullphasenwinkel zur reellen Achse gedreht und rotiert anschließend mit der Kreisfrequenz ω.

rotierender komplexer Zeiger