Informations- und Kommunikationstechnik

Passive RC- und RL-Tiefpässe

Im Gegensatz zu ohmschen Widerständen ist der Widerstandswert von Kondensatoren und Spulen von der Frequenz der Spannung und des Stroms abhängig. Dieses Kapitel beschreibt das Verhalten passiver RC- und RL-Reihenschaltungen an sinusförmiger Spannung. Es handelt sich um frequenzabhängige Spannungsteiler. Entsprechende aktive Schaltungen sind an anderer Stelle als Integrierverstärker beschrieben. Beide Pässe haben im kapazitiven oder induktiven Widerstand ein unabhängiges Speicherglied. Die Schaltungen werden auch als passive Filter 1. Ordnung bezeichnet.

Im niedrigen Frequenzbereich unterhalb 1 MHz können die meisten Bauformen ohmscher Widerstände (Wirkwiderstände) als von der Frequenz unabhängig angenommen werden. Die Werte kapazitiver Blindwiderstände verringern sich mit zunehmender Betriebsfrequenz, während induktive Blindwiderstände größere Werte annehmen. Am RC-Spannungsteiler ist daher die Spannung parallel zum Kondensator bei tiefen Frequenzen groß und bei hohen Frequenzen klein. An einer RL-Reihenschaltung wird der gleiche Effekt erzielt, wenn die Ausgangsspannung parallel zum Wirkwiderstand gemessen wird. In den folgenden Betrachtungen soll die Amplitude der Eingangsspannung für alle Eingangsfrequenzen konstant sein.

Tiefpässe

In der Elektronik werden Baugruppen entsprechend ihrer Funktion oft als Blocksymbole dargestellt. Die Darstellungsform, ehemals als Vierpol bezeichnet, nennt sich derzeit Zweitor. Links ist das Eingangstor mit zwei Eingangspolen, rechts sind die zwei Pole des Ausgangstors. Meistens sind die unteren Pole die gemeinsame Signalmasse und werden als ein Bezugspol dargestellt. Die eingetragenen Buchstaben oder Symbole kennzeichnen die Eigenschaften des Vierpols.

In der folgenden interaktiven Simulation kann der Verlauf der Ausgangsspannung in Abhängigkeit von der Frequenz untersucht werden. Für alle Messreihen ist die Amplitude der Eingangsspannung konstant, nur die Frequenz ist variierbar. Die grafische Auswertung wird als Durchlasskurve oder Amplituden-Frequenzgang des Tiefpasses bezeichnet. Zur Darstellung großer Frequenzbereiche ist es üblich die Frequenzachse logarithmisch zu unterteilen, während die Amplitudenachse linear geteilt bleibt. Dargestellt ist das Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße als Funktion der Frequenz. Diese normierte, relative Darstellung ergibt eine allgemeingültige Aussage und ist unabhängig von der absoluten Eingangsgröße.

In der Simulation können per Schieber für R und C unterschiedliche Werte eingestellt werden. Der daraus folgende Kurvenverlauf wird berechnet und grafisch dargestellt. Mit den Schaltflächen rechts lassen sich verschiedene Darstellungen der Ausgabe wählen. Durch Verschieben des Cursors entlang der Frequenzachse werden die Funktionswerte an dieser Kurvenposition angezeigt. Nur bei einer Frequenz, der Grenzfrequenz fg, ist der Blindwiderstandswert gleich dem ohmschen Widerstandswert. Das Amplitudenverhältnis bei dieser im Diagramm hervorgehobenen Frequenz beträgt 0,707 (≈ 71%) oder −3dB.

Die Phasenlage der Ausgangsspannung ist auf die Eingangsspannung mit festgelegtem Phasenwinkel φ = 0° bezogen. Sie ist proportional zur Impedanz Z der Schaltung. Die Ausgangsspannung am RC-Tiefpass wird parallel zum Kondensator gemessen und ist in Bezug zur Eingangsspannung nacheilend. Beim LR-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Wirkwiderstand abgegriffen und eilt ebenfalls nach. Der Phasenwinkel nimmt Werte zwischen 0° und −90° an. Die Definition der Grenzfrequenz besagt, dass der Blindwiderstandswert gleich dem Wirkwiderstandswert ist. Der Phasenwinkel beträgt dann immer absolut 45°. Beim Tiefpass erhält der Phasenwinkel mit φ = −45° ein negatives Vorzeichen, da der Zeiger der Ausgangsgröße zum Bezugszeiger der Eingangsgröße im Uhrzeigersinn gedreht ist.

Die Grenzfrequenz

Im Zeigerdiagramm ist der Phasenwinkel zwischen der Wirk- und Blindkomponente immer 90°. Da die Eingangsspannung an beiden Widerständen, der Gesamtimpedanz anliegt, bildet ihr Zeiger die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Widerstandszeigern als Katheten. Nur bei einer bestimmten Frequenz haben beide Widerstände den gleichen Wert und gleiche Zeigerlängen. Wird die Länge auf den Wert 1 gesetzt, dann errechnet sich die Hypotenuse aus der geometrischen Addition der Teilwerte mit dem Ergebnis √2. Wird dieser Eingangsgröße der Wert 1 zugeordnet, dann müssen die Kathetenwerte durch Wurzel 2 dividiert werden. Die Längen der Widerstands- oder Spannungszeiger haben dann den Wert 0,707. Der rechte Winkel wird zu je 45° geteilt. Das sind die definierten Verhältnisse bei Grenzfrequenz.

Mathematische Herleitungen

Beim Tiefpass wird der Frequenzbereich unterhalb der Grenzfrequenz als Durchlass- und darüber als Sperrbereich bezeichnet. Das Verhalten einer Schaltung kann mithilfe ihrer Übertragungsfunktion schnell beurteilt werden. Sie ergibt sich aus dem Verhältnis der Ausgangsspannung bezogen auf die Eingangsspannung. Für den RC- und RL-Tiefpass werden die Übertragungsfunktionen zuerst ohne komplexe Rechnung hergeleitet.

Die Übertragungsfunktionen

Die Übertragungsfunktion für einen RC-Tiefpass

Die Eingangsspannung liegt parallel an beiden Widerständen und somit an der Impedanz Z. Beim RC-Tiefpass wird die Ausgangsspannung parallel zum Blindwiderstand des Kondensators abgenommen. Das Spannungsverhältnis wird auf die Ausgangsspannung normiert und nach wenigen Umformungen ist die Übertragungsfunktion aufgestellt.

Übertragungsfunktion zum RC-TP

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Sehr oft ist es einfacher die Berechnungen mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung durchzuführen, die dann auch in vielen Veröffentlichungen zu den einzelnen Themen zu finden sind. Die ausführlichen Beschreibungen zum komplexen Achsensystem und zur komplexen Rechnung sind im Bereich der Fachmathematik zu finden, ebenso wie die Zusammenhänge zwischen den Blindwiderständen und ihren Operatoren und Leitwerten.

Die Übertragungsfunktion G(jω) oder G(s) wird wie zuvor nunmehr mit den Operatoren aufgestellt, wobei komplexe Größen mit einem Unterstrich gekennzeichnet werden. Der nächste Schritt ist die Normierung auf die Ausgangsspannung, sodass im Zähler den Wert 1 steht. In Veröffentlichungen findet man verschiedene Vereinfachungen. Anstelle von RC wird die Zeitkonstante τ = R·C geschrieben oder der Faktor j·ω durch s = j·ω ersetzt werden. Sehr oft wird auf die Grenzfrequenz normiert, sodass die Frequenzachse jetzt Werte für Ω = f / fg im Bereich 0 ... ∞ erhält und bei Grenzfrequenz fg den Wert Ω = 1 hat.

komplexe Übertragungsfunktion des RC-TP

In den Diagrammen wird die Horizontale durch Werte für Ω unterteilt. Die Teilung der Vertikalachse kann für G linear mit 0 ... 1 in Volt oder in Dezibel mit dem Maximalwert 0 dB geteilt werden. Die Vertikale im Phasendiagramm zeigt für φ die Winkelwerte als Funktion von Ω.

Bei Ω = 0 ist die Amplitude mit 1 maximal und der Phasenwinkel φ = 0°. Bei Grenzfrequenz mit Ω = 1 hat die Amplitude den Wert G = 0,707 oder −3 dB und der Phasenwinkel den Wert φ = -45°. Für Ω gegen unendlich strebt die Übertragungsfunktion gegen null und der Phasenwinkel gegen −90°. Das sind die charakteristischen Eckwerte einer RC-Tiefpassschaltung.

Die Übertragungsfunktion für einen RL-Tiefpass

Die Eingangsspannung liegt an beiden Widerständen, der Gesamtimpedanz an. Die Ausgangsspannung wird beim RL-Tiefpass parallel zum ohmschen Widerstand abgegriffen. Die mathematische Herleitung der Übertragungsfunktion erfolgt entsprechend angepasst wie oben gezeigt.

Übertragungsfunktion zum RL-TP

Bei der Darstellung des Amplituden-Frequenzgangs wird anstelle des Spannungsverhältnisses oftmals das Pegelmaß verwendet. Ausreichend entfernt oberhalb der Grenzfrequenz ist dann der Kurvenverlauf im Sperrbereich linear fallend. Das Dämpfungsmaß errechnet sich aus der Steigung. Der charakteristische Wert für einen passiven Tiefpass 1. Ordnung beträgt 6 dB bei Frequenzverdoppelung entsprechend einer Oktave. Wird der Wert bei zehnfacher Frequenz angegeben, so beträgt das Dämpfungsmaß 20 dB pro Dekade.

Bodediagramm mit Pegelmaß beim LR-TP

Beim RC-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Kondensator abgegriffen.
Beim RL-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Widerstand abgegriffen.
Eingangssignale mit tiefen Frequenzen durchlaufen die Schaltung fast ungehindert.
Mit steigender Eingangsfrequenz wird die Ausgangsamplitude stetig kleiner.
Bei der Grenzfrequenz fg gilt Ua = 0,707·Ue. Die Dämpfung beträgt 3 dB.
Bei fg ist das Ausgangssignal um φ = −45° zum Eingangssignal phasenverschoben.
Bei f » fg beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Das Ausgangssignal wird am ohmschen Widerstand abgenommen und das Eingangssignal liegt an der Impedanz, der Reihenschaltung aus dem induktiven Blindwiderstand und dem Wirkwiderstand. Die Schritte der Herleitung sind identisch. Es wird auf das Ausgangssignal normiert, sodass der Zähler den Wert 1 hat. Es kann auf die Grenzfrequenz normiert werden, wodurch die Frequenzachse in den Diagrammen mit den dimensionslosen Werten für Ω geteilt wird.

komplexe Übertragungsfunktion des RL-TP

Die beschriebenen Eigenschaften gelten für unbelastete Pässe, wo weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer Folgestufe einen Einfluss ausüben. In einer größeren Schaltung kann das durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreicht werden. Sie werden zumeist als Pufferverstärker (engl. Buffer) bezeichnet. Ohne diese Entkopplung wird der Pass belastet, wobei die maximal erreichbare Ausgangsspannung abnimmt und die zuvor berechnete Grenzfrequenz einen anderen Wert annimmt. Auf der Seite zum belasteten RC-Pass werden diese Einflüsse ausführlich mit mathematischen Herleitungen beschrieben.