Informations- und Kommunikationstechnik

Belastete passive RC-Pässe

Eine einfache RC-Schaltung kann als Hoch- oder Tiefpass-Filter eingesetzt werden. Beim RC-Hochpass wird das Ausgangssignal parallel zum Widerstand und beim RC-Tiefpass parallel zum Kondensator abgenommen. Eine kombinierte Schaltung richtig dimensionierter Hoch- und Tiefpass-Filter wird zum Bandpass oder zur Bandsperre. Nur für eine unbelastete einfache Pass- oder Filterschaltung sind Grenzfrequenz und Übertragungsfunktion einfach zu berechnen. In kombinierten Filterschaltungen belasten sich die Aus- und Eingänge der einfachen HP- oder TP-Glieder gegenseitig, wodurch sich ihre Kenndaten verändern. Die folgenden Untersuchungen und mathematischen Herleitungen gelten angepasst auch für RL-Schaltungen.

Grenzfrequenzversatz beim belasteten Tiefpass

Wird ein RC-Tiefpass am Ausgang mit einem ohmschen Widerstand oder der Eingangsimpedanz einer Folgeschaltung belastet, so verringert sich die Ausgangsspannung mit zunehmender Belastung und die Grenzfrequenz nimmt höhere Werte an. Das Diagramm zeigt die Simulationsergebnisse für einen RC-Tiefpass.

belasteter RC-Tiefpass

Für einen belasteten Pass gilt die einfache Formel zur Berechnung der Grenzfrequenz nicht mehr. Für die folgenden Betrachtungen soll die Signalquelle am Eingang weiterhin mit einem Innenwiderstand von 0 Ω ideales Verhalten haben. Auf das Signal bezogen liegen dann der Tiefpasswiderstand R und der Lastwiderstand RL parallel zueinander und bilden einen Ersatzwiderstand Rers.

berechnete Belastung am RC-Tiefpass

Im niedrigen Frequenzbereich bestimmt in der Parallelschaltung von Rers und C dieser ohmsche Widerstand die Ausgangsspannung. Beim Tiefpass ist das auch die neue Eingangsspannung Uers. Die veränderte Grenzfrequenz kann jetzt wieder mit der bekannten Formel bei gleicher Kapazität aber dem Ersatzwiderstand berechnet werden. Die Ausgangsspannung bei dieser Grenzfrequenz liegt bezogen auf die Ersatzspannung bei −3 dB. Die Berechnungen konnten im Experiment bestätigt werden. Kann der Quelleninnenwiderstand nicht vernachlässigt werden, ist er zum Wert des Tiefpasswiderstands R zu addiert, da beide Widerstände eine Reihenschaltung bilden.

Grenzfrequenzversatz beim belasteten Hochpass

Eine für den RC-Hochpass vergleichbare Simulation zeigt den Einfluss des Innenwiderstands der Signalquelle Ri und einer Ausgangslast RL auf die Grenzfrequenz. Im Leerlauf wird der RC-Hochpass am Eingang durch den Innenwiderstand der Quelle belastet, der in Reihe mit dem Hochpasswiderstand liegt. Je größer der Innenwiderstand ist, desto mehr verschiebt sich die Grenzfrequenz in den tieferen Bereich. Die ersten drei Simulationswerte zeigen, dass der Einfluss gering ist, solange die Impedanz der Quelle klein im Vergleich zum Widerstandwert im Hochpass bleibt.

Belastung am RC-Hochpass

Einen größeren Einfluss hat die Belastung am Ausgang durch RL. Durch die Parallelschaltung entsteht ein deutlich kleinerer Widerstand, der mit dem Kapazitätswert die Grenzfrequenz bestimmt. Die Simulationsergebnisse zeigen mit zunehmender Belastung einen Versatz der Grenzfrequenz in den höheren Bereich. Werden für den Quelleninnenwiderstand und den Lastwiderstand ohmsche Widerstände angenommen, kann die gültige Grenzfrequenz des Hochpasses mit dem folgenden Ersatzwiderstand berechnet werden.

Formeln bei Belastung am RC-Hochpass

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Übertragungsfunktion des belasteten RC-Tiefpass

Für jeden RC-Tiefpass können die Eigenschaften mithilfe der Übertragungsfunktion mathematisch bestimmt werden. Mit der komplexen Wechselstromrechnung ist die Berechnung für jede Art der Belastung relativ einfach und nicht nur auf ohmsche Widerstände begrenzt. Das folgende sehr einfache Beispiel zeigt die prinzipielle Vorgehensweise bei rein ohmscher Ausgangslast ohne den zusätzlichen Einfluss durch einen Quelleninnenwiderstand. Der belastete Tiefpass ist ein von der Frequenz abhängiger Spannungsteiler aus R und der Parallelschaltung von C mit dem Lastwiderstand.

Belastung am RC-Tiefpass

Zur Herleitung der komplexen Übertragungsfunktion wird für die Parallelschaltung der komplexe Scheinleitwert verwendet, dessen Kehrwert, die komplexe Impedanz, mit dem Tiefpasswiderstand R in Reihe liegt. Die Ausgangsspannung liegt parallel zur komplexen Impedanz. Die Eingangsspannung liegt über der komplexen Summe beider Widerstände R und Z.

Die Übertragungsfunktion ist das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung. Die Ausgangsspannung liegt an der Parallelschaltung, die Eingangsspannung an der Gesamtimpedanz, der Reihenschaltung aus R und der komplexen Impedanz Z. Bei einer passiven Schaltung kann die Ausgangsspannung maximal so groß wie die Eingangsspannung sein. Zum einfacheren Vergleich unterschiedlich belasteter Schaltungen wird auf diesen Maximalwert 1 normiert. Dazu werden Zähler und Nenner des Bruchs rechts durch Z dividiert, gleichbedeutend mit der Erweiterung mit 1 / Z. Der Zähler rechts hat den Wert 1 und mit weiteren Umformungen wird der komplexe Nenner durch konjugiert komplexe Erweiterung reell gemacht. Im Ergebnis liegt dann die Real- und Imaginärkomponente getrennt vor.

komplexe Übertragungsfunktion, RC-Tiefpass

Der Betrag des Amplitudenfrequenzgangs kann aus der Gl.(2) oder Gl.(3) erstellt werden. Die Real- und Imaginärkomponente werden quadriert und aus deren Summe die Quadratwurzel gezogen. Mit den beiden Grenzbetrachtungen für die Frequenz erkennt man das Tiefpassverhalten, wobei sich für 0 Hz die anfangs aufgestellte Beziehung zur Ersatzspannung ergibt.

Die Abhängigkeit des Phasenwinkels von der Frequenz errechnet sich aus dem Arcustangens des Quotienten der Imaginär- zur Realkomponente. Wird zur Herleitung die Gl.(3) verwendet, so ergibt sich das richtige Vorzeichen selbst. Die Phasenlage der Eingangsspannung hat per Definition null Grad.

komplexe Übertragungsfunktion, RC-Tiefpass

Bei der Grenzfrequenz beträgt der Absolutwert des Phasenwinkels immer |φ| = 45°. Aus dem Argument der Gl.(5) kann somit die Grenzfrequenzformel für den belasteten Tiefpass hergeleitet werden, die ebenfalls identisch mit der eingangs benutzten Formel ist.

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Übertragungsfunktion des belasteten RC-Hochpass

Zur leichteren Übersicht der komplexen Herleitung soll der Hochpass nur durch ohmsche Widerstände belastet werden. Am Ausgang liegt der Lastwiderstand parallel zum HP-Widerstand und wird bei der Herleitung der Übertragungsfunktion als Parallelwiderstand RPar eingesetzt. Der Innenwiderstand der Quelle Ri liegt in Reihe zum Pass und wird zu diesem Parallelwiderstand addiert. Der Lösungsweg mit komplexen Größen ist die einzig brauchbare Methode, wenn als Lastwiderstände auch Impedanzen möglich sind.

Belastung am RC-Hochpass

Wie beim belasteten Tiefpass wird auch für den Hochpass die Übertragungsfunktion aufgestellt und normiert. Mit den Komponenten im Nenner kann der Amplituden-Frequenzgang direkt aufgestellt werden. Durch konjugiert komplexe Erweiterung kann auch erst die Komponentenform gebildet werden. Die Grenzbetrachtung für die beiden Extremwerte der Frequenz zeigt, dass es sich um einen Hochpass handelt.

Mithilfe der komplexen Komponentenform kann der Phasengang mit korrektem Vorzeichen bestimmt und die Formel für die Grenzfrequenz hergeleitet werden. Mit den Gleichungen lassen sich die anfänglichen Simulationsergebnisse bestätigen.

komplexe Formelherleitungen für RC-Hochpass

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RC-Bandpässe

Die Zusammenschaltung geeignet dimensionierter Hoch- und Tiefpassglieder ergibt einen Bandpass. Mit ihm kann aus einem Frequenzgemisch ein bestimmtes Frequenzband ausgefiltert werden. Das Kapitel passive elektrische Filter enthält dazu allgemein gehaltene Informationen. Hier wird der RC-Bandpass als Reihenschaltung aus RC-Hochpass und RC-Tiefpass eingehender untersucht. Die einfachste Schaltung besteht aus einem Hoch- und Tiefpass gleicher Dimensionierung und Grenzfrequenz.

1. Schaltvariante

Das Eingangssignal liegt am TP und am Widerstand des nachfolgenden HP liegt das Ausgangssignal. Für sehr niedrige Frequenzen sind beide Kondensatoren extrem hochohmig. Der HP-Kondensator sperrt den Signalstrom, sodass der niedrige Frequenzbereich nicht an den Ausgang gelangt. Für sehr hohe Frequenzen sind beide Kondensatoren extrem niederohmig. Der TP-Kondensator schließt diesen Frequenzbereich nahezu nach Masse kurz, sodass auch dieser Frequenzbereich nicht an den Ausgang gelangt. Nähert sich die Eingangsfrequenz der Grenzfrequenz, dann nimmt die Ausgangsamplitude zu, da die Übertragungscharakteristik des Hochpass in den Durchlassbereich gelangt. Beim Überschreiten der Grenzfrequenz gerät der Tiefpass in den Sperrbereich und die Ausgangsamplitude nimmt ab. Bei der in diesem Beispiel für beide Filter gleichen Grenzfrequenz ist das Maximum der Durchlasskurve zu erwarten.

2. Schaltvariante

Das Eingangssignal liegt am HP und das Ausgangssignal wird am nachfolgenden TP abgenommen. Für sehr niedrige Frequenzen sperrt der HP-Kondensator den Signalstrom zum TP und an den Ausgang. Im Bereich der Grenzfrequenz wechselt die Charakteristik des HP vom Sperrbereich in den Durchlassbereich. Nach dem Bereich der Grenzfrequenz wechselt der TP vom Durchlass- in den Sperrbereich und verringert die Ausgangsamplitude. Für sehr hohe Frequenzen schließt der extrem niederohmige Kondensator des TP das Ausgangssignal nach Masse kurz.

RC-Bandpass

Das AC-Frequenz- und Phasendiagramm, als Bodediagramm bezeichnet, zeigt für beide Schaltungen das gleiche Bandpassverhalten. Die Grenzfrequenzen der einzeln berechneten HP- oder TP-Filter betragen 159 Hz und bilden jetzt die Mittenfrequenz des Bandpasses beim Phasenwinkel φ = 0°. In den Diagrammen lassen sich zwei neue Grenzfrequenzen mit fu = 48 Hz bei φ = +45° für den Hochpass und fo = 530 Hz bei φ = −45° für den Tiefpass bestimmen. Die Wurzel aus dem Produkt der beiden Grenzfrequenzen ergibt die Mittenfrequenz des Filters. Die Maximalamplitude im Durchlassbereich hat gemessen −9,5 dB. Das ist nur noch ein Drittel der Durchlassamplitude des einzelnen HP- oder TP-Filters. Beide Pässe beeinflussen sich gegenseitig, da die Ausgangsimpedanz des einen die Eingangsimpedanz des anderen belastet und umgekehrt.

Die Serienschaltung eines HP- und TP-Filters ergibt nur dann einen sinnvoll nutzbaren Bandpass, wenn die HP-Grenzfrequenz gleich oder niedriger als die TP-Grenzfrequenz ist. Hat der Hochpass die höhere Grenzfrequenz, dann ist die maximal erreichbare Ausgangsamplitude deutlich niedriger und die Bandbreite viel größer. Das folgende Beispiel verdeutlicht es mit dem Bodediagramm. Die Mittenfrequenz des Filters errechnet sich wie oben angegeben als geometrischer Mittelwert der einzelnen HP und TP Grenzfrequenzen.

Dimensionierung RC-Bandpass

Um eine gegenseitige Beeinflussung zu verhindern, werden beide Pässe durch einen Impedanzwandler entkoppelt. Seine Eingangsimpedanz ist so hoch, dass er den Ausgang des vorgeschalteten HP nicht belastet. Seine Ausgangsimpedanz ist sehr niedrig, sodass er für den folgenden TP eine fast ideale Signalquelle darstellt. In der Grundschaltung hat der Impedanzwandler den Verstärkungsfaktor 1 und keinen Einfluss auf die Signalamplitude. Die Diagramme der Simulationsschaltung zeigen den Bandpasscharakter mit gleicher Mittenfrequenz. Infolge der Entkopplung ist die Durchlassamplitude mit −6 dB weniger stark gedämpft und die Bandbreite ist geringer geworden.

entkoppelter RC-Bandpass

Der rote Kurvenzug am Ausgang des Impedanzwandlers zeigt das Bodediagramm des nicht belasteten HP mit der Grenzfrequenz von 159 Hz. Auf die Amplitude der Eingangsspannung bezogen lassen sich −3 dB ablesen. Der folgende Tiefpass mit gleicher Grenzfrequenz dämpft diese Amplitude um den gleichen Wert. Die Maximalamplitude des Bandpasses erreicht somit −6 dB. Mit weiter zunehmender Frequenz dämpft der TP seine Ausgangsamplitude mit 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade. Es handelt sich damit um ein Filter 1. Ordnung.

Die Entkopplung mit einem Impedanzwandler wird oftmals angewendet, zumal er auch unter Beibehalten seiner günstigen Impedanzwerte zum Verstärker erweitert werden kann. Die Filterschaltungen sind nicht mehr passiv, sondern benötigen zusätzliche Betriebsspannungen.

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Komplexe Übertragungsfunktion für den RC-Bandpass

Berechnungen zum passiven Bandpass können eigentlich nur mit komplexer Wechselstromrechnung erfolgen, da Signale mit unterschiedlichen Phasenwinkeln auf Impedanzen treffen, die ihrerseits von der Frequenz abhängige Spannungsteiler bilden. Der Bandpass ist als Spannungsteiler dargestellt und die zur Herleitung notwendigen Größen sind farblich gekennzeichnet. Eine Vereinfachung ergibt sich bei gleichen Bauteilwerten für den HP und TP. Der Hochpass belastet mit seiner Impedanz Z1 die Ausgangsspannung vom TP. Der TP belastet mit seinem Blindwiderstand die HP-Impedanz. Die Eingangsspannung für den HP liegt daher an Z2 der Parallelschaltung von Z1 für den HP und dem Blindwiderstand der TP-Kapazität. Die Eingangsspannung liegt an der Reihenschaltung aus dem TP-Widerstand und Z2.

passiver RC-Bandpass

Für beide Pässe können die Übertragungsfunktionen geschrieben werden, wobei nach der gemeinsamen Spannung U aufgelöst und gleichgesetzt wird. Damit ergibt sich der Ansatz für die Übertragungsfunktion des Bandpasses, in der U nicht mehr vorkommt. Werden in der Schaltung HP und TP vertauscht, führt die Herleitung der Übertragungsfunktion zum gleichen Ergebnis. Die anfangs gezeigte AC-Frequenzanalyse hat das in der Schaltungssimulation gezeigt.

Übertragungsfunktion RC-Bandpass

Amplituden- und Phasengang

Aus der komplexen Übertragungsfunktion errechnet sich der Amplituden-Frequenzgang aus der Summe der Quadrate für die Real- und Imaginärkomponente und dem anschließenden Ziehen der Quadratwurzel. Das Verfahren kann auch direkt auf die Komponenten im Nenner der Gl.(6) angewendet werden. Bei der Mittenfrequenz dieser symmetrischen Bandpassschaltung mit ωo = 1 / (R·C) hat die Imaginärkomponente den Wert null. Das Phasendiagramm der Simulation zeigt mit φ = 0° bei der Mittenfrequenz das Fehlen imaginärer Eigenschaften an.

Amplitudengang und Mittenfrequenz

Der Phasengang wird aus dem Verhältnis der Imaginär- zur Realkomponente der Übertragungsfunktion hergeleitet. Durch die Definition der Normfrequenz mit Ω = f / fo, die auf die Mittenfrequenz bezogen ist, werden die Formeln übersichtlicher. Die Grenzfrequenzen sind beim absoluten Phasenwinkel φ = 45° definiert.

Phasengang und Grenzfrequenzen, RC-Bandpass

Mit den Bauteilwerten des Simulationsbeispiels errechnet sich die Mittenfrequenz zu f0 = 159 Hz und damit f1 = 525 Hz als obere und f2 = 48 Hz als untere Grenzfrequenz. Die abgelesenen Diagrammwerte stimmen damit sehr gut überein. Ein spezieller RC-Bandpass ist das Wienglied. Es wird in Sinusgeneratoren, die sich durch eine sehr gute Signalqualität auszeichnen, verwendet und ist in einem eigenen Kapitel ausführlich beschrieben.