Informations- und Kommunikationstechnik

Passive RC- und RL-Hochpässe

Ein passiver Hochpass unterscheidet sich vom ausführlich beschriebenen Tiefpass im Wesentlichen durch die vertauschte Anordnung der Bauteile. Auch hier handelt es sich um frequenzabhängige Spannungsteiler. Beim RC-Hochpass wird die Ausgangsspannung am ohmschen Wirkwiderstand entnommen. Beim RL-Hochpass liegt der Ausgang parallel zum induktiven Blindwiderstand. Die folgenden Betrachtungen gelten für sinusförmige Eingangssignale konstanter Amplitude und variabler Frequenzen.

Der RC-Hochpass

Beim RC-Hochpass ist nur der kapazitive Blindwiderstand von der Frequenz abhängig. Am ideal angenommenen Kondensator eilt der Strom um φ = 90° der Spannung voraus. In der Reihenschaltung ist der Strom die Bezugsgröße und zeigt wie angedeutet horizontal nach rechts. Die Spannung am Kondensator und der dazu proportionale Zeiger des Blindwiderstands zeigen folglich senkrecht nach unten. Die Zeigerlänge und die dazu proportionale Spannung am Kondensator nimmt mit zunehmender Frequenz stetig ab und am ohmschen Widerstand wird die Ausgangsspannung größer.

Mit zunehmender Frequenz der Eingangsspannung dreht sich der dazu proportionale Zeiger der Impedanz in Richtung zur reellen Achse des Wirkwiderstands der Ausgangsspannung. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsspannung, die auf die Eingangsspannung bezogen wird, liegt zwischen φ = +90° bis φ = 0°.

RC- und RL-Hochpass

Der RL-Hochpass

Beim RL-Hochpass ist nur der induktive Blindwiderstand von der Frequenz abhängig. Die Ausgangsspannung wird an der Spule abgenommen. Bei ideal definierter Induktivität eilt die Spannung um φ = 90° dem Strom voraus. Der Zeiger des Blindwiderstands zeigt senkrecht nach oben. Der Wert des induktiven Blindwiderstands nimmt zu höheren Frequenzen linear zu. Die Spannung an der Induktivität verhält sich direkt proportional zum Wert des Blindwiderstands. Zu hohen Frequenzen hin nähert sich der Wert der Ausgangsspannung dem der Eingangsspannung.

Mit zunehmender Frequenz der Eingangsspannung dreht sich der Zeiger der Eingangsspannung in Richtung der Vertikalen zum Spannungszeiger des induktiven Blindwiderstands. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsspannung an der Induktivität bezogen auf die Eingangsspannung ergibt folglich Werte von φ = +90° zu φ = 0°.

Bodediagramme

Für jeden Hochpass gibt es eine Grenzfrequenz, wo der Definition entsprechend die Werte von Wirk- und Blindwiderstand gleich groß sind. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsgröße in Bezug zur Eingangsgröße beträgt φ = +45°. Das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsgröße hat bei der Grenzfrequenz den charakteristischen Wert 0,707 entsprechend −3 dB.

Beim passiven Hochpass erster Ordnung, mit nur einem Typ Blindwiderstand, wird die Ausgangsspannung für Frequenzen weit unterhalb der Grenzfrequenz mit 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade gedämpft. Die folgenden Bodediagramme zeigen für einen RC- und RL-Hochpass mit gleicher Grenzfrequenz den von der Frequenz abhängigen Amplituden- und Phasengang der Ausgangsspannung in Bezug zur Eingangsspannung.

AC-Analysediagramme vom RC- und RL-Hochpass

Die Übertragungsfunktionen

Die Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

Die Eingangsspannung als Bezugsgröße liegt parallel zur Reihenschaltung von R und C und somit an der Impedanz Z. Die Ausgangsspannung am RC-Hochpass wird parallel zum Widerstand abgegriffen. Damit kann das Spannungsverhältnis nach Gl.(1) aufgestellt werden. Übertragungsfunktionen sollen allgemeingültig sein und werden normiert dargestellt. Der Ausgangswert im Zähler kann bei passiven Schaltungen maximal 100% oder 1 werden. Normiert wird die Gleichung Gl.(2) indem sie mit 1/R erweitert wird. Im Nenner kann der Faktor vor der Wurzel als quadratischer Faktor in die Wurzel einbezogen werden. Der Ausdruck unter der Wurzel wird ausmultipliziert und liefert als Ergebnis die Gleichung Gl.(3).

Der Wert des kapazitiven Blindwiderstands in Gl.(3) ist von der Frequenz abhängig. Bei der charakteristischen Grenzfrequenz fg sind beide Widerstandswerte gleich groß und die Ausgangsspannung hat ihren charakteristischen Wert von rund 71% der Eingangsspannung, siehe Gl.(4).

Der Nenner kann weiter aufgelöst werden. Man erhält dann mit Gleichung Gl.(5) die Übertragungsfunktion einer beliebigen RC-Hochpass Schaltung. Die Ausgangsspannung ist als Funktion der Frequenz dargestellt. Mit den beiden Extremwertbetrachtungen zeigt sich das charakteristische Hochpassverhalten.

RC-Hochpass Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Die Herleitung erfolgt mit den Operatoren und der Normierung auf die Ausgangsgröße. Der Zähler wird so erweitert, dass sein Wert 1 beträgt. Mit der Normierung auf die Grenzfrequenz kann der Formelterm durch Ω vereinfacht werden. Bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 hat die Übertragungsfunktion den Wert √2 = 0,707 oder −3 dB. Für sehr niedrige Frequenzen strebt Ω gegen null, der Quotient unter der Wurzel gegen unendlich und der Wert der Übertragungsfunktion gegen null. Für sehr hohe Frequenzen kann der Quotient unter der Wurzel vernachlässigt werden und das Ergebnis der Übertragungsfunktion strebt gegen 1.

komplexe Übertragungsfunktion für RC-Hochpass

Bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 errechnet sich der Phasenwinkel zu φ = 45°. Für niedrige Frequenzen strebt Ω gegen null und der Phasenwinkel gegen null. Für hohe Frequenzen und großen Werten von Ω strebt der Phasenwinkel gegen 90°. Die Grenzbetrachtungen beschreiben das Verhalten einer Hochpassschaltung.

Die Übertragungsfunktion beim RL-Hochpass

Die Ausgangsspannung beim RL-Hochpass liegt am induktiven Blindwiderstand, während die Eingangsspannung an der Reihenschaltung von R und L und somit an der Impedanz Z liegt. Die mathematische Herleitung der Übertragungsfunktion für den RL-Hochpass erfolgt entsprechend angepasst wie beim RC-Hochpass.

RL-Hochpass Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

In der Herleitung unterscheiden sich nur die ersten Schritte von der für den RC-Hochpass.

komplexe Übertragungsfunktion für RL-Hochpass

Beim RC-Hochpass wird die Ausgangsspannung am ohmschen Wirkwiderstand abgegriffen.
Beim LR-Hochpass wird die Ausgangsspannung am induktiven Blindwiderstand abgegriffen.
Eingangssignale mit hohen Frequenzen durchlaufen beide Schaltung fast ungehindert.
Mit zunehmender Eingangsfrequenz nimmt die Ausgangsamplitude zu.
Bei der Grenzfrequenz fg gilt Uaus = 0,707·Uein. Die Dämpfung beträgt 3 dB, die Verstärkung −3 dB.
Bei fg ist die Ausgangsspannung um φ = 45° zur Eingangsspannung phasenverschoben.
Bei f « fg beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.

Diese Eigenschaften gelten nur für unbelastete Pässe, wo weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer angeschlossenen Folgestufe berücksichtigt wird. Diese Verhältnisse lassen sich durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreichen. Ohne derartige Zusatzschaltungen wird der Pass belastet, wobei die maximale Ausgangsspannung abnimmt und die Grenzfrequenz einen anderen Wert annimmt. Im Kapitel über den belasteten RC-Pass werden entsprechende Untersuchungen mit der komplexen Wechselstromrechnung zur Übertragungsfunktion beschrieben.